問題1(熱力学,瞬間的な膨張)の解答

 

 

問題:

 

 下図の左側のように,体積\(V\),圧力\(P\),温度\(T\)の単原子理想気体がある.ここで,実際には難しいが,シリンダーを無限小の時間で上に動かし,気体が封入されているシリンダー体積を\(2V\)に増加させた.この後気体が熱力学平衡に至ったとして,圧力\(P^{'}\)と温度\(T^{'}\)を求めよ.

 

 

 

 

解答:

これは理想気体の自由膨張であり,膨張して熱平衡に至った後の温度は,膨張前の温度に等しい.よって,

$$ T^{'}=T \tag{1} $$

また,温度が同一で体積が\(2\)倍になったので,理想気体の状態方程式より,圧力は\(\frac{1}{2}\)になる.よって

$$ P^{'}=\frac{P}{2} \tag{2} $$

 

 

講評:

 

 瞬間的にピストンが上部にシフトしたその直後において,気体は相変わらず下半分の(体積\(V\)の)領域にとどまっている.つまり,気体原子の運動速度は有限なので,ピストンの瞬間的な移動に対して全くついていけないのである.そこから先は気体の自由膨張が始まる.自由膨張においては,気体が外界に全く仕事をせずに膨張するので,内部エネルギーに変化は起きない.そして”理想”気体というのは,”実在”気体と違って,分子間力がないので,分子間の平均距離が変わったところでポテンシャルは変化しない.よって膨張前と膨張後の温度は同じになるのである.

 温度が同じ(\({T^{'}}=T\))となれば,あとは高校でも習う気体の状態方程式

$$ PV=nRT $$

を思い出すことで,\(P\)と\(V\)が反比例の関係にあることもわかるので,\(P^{'}=\frac{P}{2}\)も得られる.

 同じ体積の膨張でも,ピストンがゆっくり動いた場合は話が全く異なることにも注意しよう.ピストンが気体の分子運動速度よりも十分ゆっくり動く場合は,気体はほぼ熱平衡を保ちながらピストンに仕事をすることになる.もちろん膨張後の温度は膨張前よりも低くなるのである.このゆっくりとした状態変化である”準静的変化”と,今回の瞬間的変化の違いをよく理解しておこう.