問題9(確率,レベル2)の解答

 

 

問題:

 

 最初に\(0\)ポイントだとして,サイコロを振って\(1\)の目が出たときだけ\(1\)ポイント加算するとする.サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが偶数である確率を求めよ.

 

 

 

解答:

 

まず,サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが偶数である確率を\(P_{N}\)とする.

\(0\)も偶数なので,

$$ P_{0}=1 \tag{1}$$

である.

また題意より,サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが偶数のとき,\(N+1\)回目も偶数になる確率は\(\frac{5}{6}\)であり,

サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが奇数のとき,\(N+1\)回目が偶数になる確率は\(\frac{1}{6}\)なので,

$$ P_{N+1}=\frac{5}{6}P_{N}+\frac{1}{6}\left({1-P_{N}}\right) \tag{2}$$

という漸化式が成り立つ.この漸化式の両辺を\(6\)倍して整理すると

$$ 6P_{N+1}-4P_{N}=1 \tag{3}$$

ここで\(b_{N}=P_{N}-\frac{1}{2}\)とおけば,

$$ 6b_{N+1}=4b_{N} $$

すなわち

$$ b_{N+1}=\frac{2}{3}b_{N} \tag{4} $$

という等比数列の漸化式になる.また,式(1)より

$$ b_{0}=P_{0}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \tag{5}$$

なので,式(4)と式(5)を合わせて

$$ b_{N}=\frac{1}{2}\left({\frac{2}{3}}\right)^{N} \tag{6}$$

と求められる.そして\(b_{N}=P_{N}-\frac{1}{2}\)であったから,サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが偶数である確率\(P_{N}\)は

$$ P_{N}=b_{N}+\frac{1}{2}=\frac{1+\left({\frac{2}{3}}\right)^{N}}{2}$$

 

 

 

 

講評:

 

 確率を漸化式で表すことができるかどうかを問うている.こういった繰り返し操作の確率計算には,漸化式がぴったりくるのである.また,漸化式を単純化するテクニックも受験生にとって必須である.受験で出題されるような漸化式はほとんどの場合,数列の項に定数を足し引きしたり,前後の項との多項式を組むなりして作った新たなる数列が,等比数列などの簡単な漸化式を満たすのである.