問題7(整数問題,(1)レベル1 (2)レベル3)の解答

 

 

問題:

 

 自然数\(a\),\(b\),\(c\)について

$$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $$

を満たす自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)を考える.

(1)自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)は無限にあることを示せ.

(2)自然数\(a\),\(b\),\(c\)が互いに素であるような自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)も無限にあることを示せ.ただし素数が無限にあることを用いてよい.

 

 

 

解答:

 

 

(1)\(n\)を自然数として\(a=3n,\,{b}=4n,\,{c}=5n\)と置けば,\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)は無限に存在し,かつ\(a^2+b^2=c^2\)を満たす.

 

(2)ある素数\(p\)を用いて,\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)を以下のように定義する:

$$ \left({a},\,{b},\,{c}\right)=\left({p},\,{\frac{p^2-1}{2}},\,{\frac{p^2+1}{2}}\right) \tag{1} $$

これは\(a^2+b^2=c^2\)を満たし,かつ素数\(p\)が無限に存在することから,式(1)で与えられる\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)も無限に存在する.この式(1)で与えられた自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)が互いに素であることを,次の(i)~(iii)を示すことにより証明する.

(i)\(b\)と\(c\)が互いに素

(ii)\(a\)と\(b\)が互いに素

(iii)\(a\)と\(c\)が互いに素

順に証明していこう.

 

(i)\(b\)と\(c\)が互いに素であることの証明

背理法で証明する.\(b\)と\(c\)が互いに素でないと仮定する.すると,\(2\)以上の公倍数\(r\)が存在し,\(b=kr\),\(c=k^{'}r\)となるような整数の組\(k,\,{k^{'}}\)(ただし\(k\neq{k^{'}}\))が存在する.よって

$$ b-c=kr-k^{'}r=\left({k}-k^{'}\right){r} \tag{6} $$

ここで\(k\neq{k^{'}}\)であったので

$$ \left|b-c\right|=\left|\left({k}-k^{'}\right){r}\right|\geq{r}\geq{2} \tag{7} $$

しかし実際は\(\left|{b-c}\right|=1\)なので矛盾,よって背理法により\(b\)と\(c\)は互いに素である.

 

(ii)\(a\)と\(b\)が互いに素であることの証明

これも背理法で証明する.\(a\)と\(b\)が互いに素でないと仮定する.すると,\(a=p\)であり素数なので,公倍数としてあり得るのは\(p\)のみとなる.すなわち\(b=\frac{p^2-1}{2}\)は\(p\)で割り切れる.これにより\(p^2-1\)も\(p\)で割り切れる.しかし実際は割り切れないので矛盾,よって背理法により\(a\)と\(b\)が互いに素である.

 

(iii)\(a\)と\(c\)が互いに素であることの証明

これも背理法で証明する.\(a\)と\(c\)が互いに素でないと仮定する.すると,\(a=p\)であり素数なので,公倍数としてあり得るのは\(p\)のみとなる.すなわち\(c=\frac{p^2+1}{2}\)は\(p\)で割り切れる.これにより\(p^2+1\)も\(p\)で割り切れる.しかし実際は割り切れないので矛盾,よって背理法により\(a\)と\(c\)が互いに素である.

 

よって,自然数\(a\),\(b\),\(c\)が互いに素であるような自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)も無限にあることが示された.

 

講評:

 

 (1)は瞬殺である.(2)は, 公開後しばらくして問題文に加えさせてもらった「素数が無限にあることを用いてよい.」という言葉が大きなヒントになる.素数\(p\)の式として\(a\),\(b\),\(c\)を与えてやり,

(I)\(a^2+b^2=c^2\)

(II)\(a\),\(b\),\(c\)が互いに素

の2条件を満たしてやればよいのである.これら(I)(II)を満たす式は(1)以外にもいくつか考えられる.今回は\(b\)と\(c\)を隣り合う整数としたが,隣り合う奇数としても(I)(II)を満たすような定義を考えることは可能である.