問題6(複素数,レベル2)の解答

 

 

問題:

 

 \(0\)以外の複素数\(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\)について,複素平面上において\(3\)つの複素数\(\alpha^{n}\),\(\beta^{n}\),\(\gamma^{n}\)でできる三角形の重心が,すべての自然数\(n\)について常に原点にあるとする.このとき,\(\left(\frac{\beta}{\alpha},\,\frac{\gamma}{\alpha}\right)\)の組をすべて求めよ.

 

 

 

 

解答:

 

題意より,三角形の重心が原点にあるということは

$$ \alpha^{n}+\beta^{n}+\gamma^{n}=0 \tag{1} $$

が成立する.そして\(\alpha\neq{0}\)より,式(1)を\(\alpha^{n}\)で割ってあげて

$$ 1+\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n}+\left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{n}=0 \tag{2} $$

ここで

$$ \left({p},\,\,{q}\right)\equiv\left(\frac{\beta}{\alpha},\,\,\frac{\gamma}{\alpha}\right) \tag{3} $$

とおくと,式(2)は

$$ 1+p^{n}+q^{n}=0 \tag{4} $$

となる.すべての自然数\(n\)について式(4)を満たすような複素数の組\(\left({p},\,{q}\right)\)を求めればよい.

 

(i)\(\left|{p}\right|<1\)のとき

式(4)の\(n\)についての極限を取ると

$$ 0=\lim_{n\rightarrow{\infty}}{\left(1+p^{n}+q^{n}\right)}=1+\lim_{n\rightarrow\infty}q^{n} $$

より,

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}q^{n}=-1 $$

となるが,これは矛盾.よって\(\left|{p}\right|<1\)の解はない.同様に\(p\)と\(q\)の対称性から\(\left|{q}\right|<1\)の解もない.

 

(ii)\(\left|{p}\right|>1\)のとき

式(4)を\(p^{n}\)で割ると

$$ \frac{1}{p^{n}}+1+\left(\frac{q}{p}\right)^{n}=0 \tag{5} $$

この式(5)の\(n\)についての極限を取ると

$$ 0=\lim_{n\rightarrow{\infty}}{\left(\frac{1}{p^{n}}+1+\left(\frac{q}{p}\right)^{n}\right)}=1+\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{q}{p}\right)^{n}} $$

より,

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{q}{p}\right)^{n}}=-1 $$

となるが,これは矛盾.よって\(\left|{p}\right|>1\)の解はない.同様に\(p\)と\(q\)の対称性から\(\left|{q}\right|>1\)の解もない.上記(i)(ii)より,

$$ \left|{p}\right|=\left|{q}\right|=1 \tag{6} $$

と,\(p\)も\(q\)も原点を中心とした単位円上にあることがわかった.一方で式(4)に\(n=1\)を代入することで

$$ p+q=-1 \tag{7} $$

が成立する.単位上の\(p\),\(q\)が式(7)を満たすので

$$ \left({p},\,\,{q}\right)= \left({-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}},\,\,{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\right),\, \left({-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}},\,\,{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) $$

これらはすべての自然数\(n\)について式(4)を満たすので,求める答えは

$$ \left(\frac{\beta}{\alpha},\,\,\frac{\gamma}{\alpha}\right)= \left({-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}},\,\,{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\right),\, \left({-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}},\,\,{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) $$

 

 

 

講評:

 

 極限値が\(-1\)になるという矛盾を使って,\(\left(\frac{\beta}{\alpha},\,\frac{\gamma}{\alpha}\right)\)が単位円上にあることを示せば,あとは簡単である.感覚的には\(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\)の大きさがバランスしている状況のように見えるので,自然とこの解法に落ち着くものと思う.