問題5(整数問題,(1)レベル1 (2)レベル2)の解答

 

 

問題:

 

 奇数の組\(\left(a,\;{b},\;{c},\;{d}\right)\)を考える.

(1)\(a^2\)を\(4\)で割った余りは\(1\)であることを示せ.

(2)\(a^2+b^2+c^2\neq{d^2}\)であることを示せ.

 

 

 

 

解答:

 

 

(1)\(a\)は奇数なので,ある整数\(k\)を用いて\(a=2k+1\)と表せる.すると

$$ a^2\equiv\left({2k+1}\right)^2\equiv{4k^2+4k+1}\equiv{1}\;\;\left(mod\;{4}\right) \tag{1} $$

よって題意は示された.

 

(2)背理法を用いて証明する.つまり,ある奇数の組\(\left(a,\;{b},\;{c},\;{d}\right)\)が式(2)を満たすと仮定する.

$$ a^2+b^2+c^2=d^2 \tag{2} $$

まず,式(1)より

$$ {a^2}\equiv{1}\;\left(mod\;{4}\right) \tag{3} $$

\(b\),\(c\),\(d\)もそれぞれ奇数なので,同様に式(4)~式(6)も成立する.

$$ {b^2}\equiv{1}\;\left(mod\;{4}\right) \tag{4} $$
$$ {c^2}\equiv{1}\;\left(mod\;{4}\right) \tag{5} $$
$$ {d^2}\equiv{1}\;\left(mod\;{4}\right) \tag{6} $$

ここで,式(2)~式(5)より

$$ {d^2}\equiv{a^2+b^2+c^2}\equiv{1+1+1}\equiv{3}\;\left(mod\;{4}\right) \tag{7} $$

と計算されるが,これは式(6)と矛盾する.

よって背理法により,奇数の組\(\left(a,\;{b},\;{c},\;{d}\right)\)について\(a^2+b^2+c^2\neq{d^2}\)であることが示された.

 

講評:

 

(1)の結果を用いれば,(2)も簡単に証明できる.奇数の組\(\left(a,\;{b},\;{c},\;{d}\right)\)について \(a^2+b^2+c^2\not\equiv{d^2}\;\;\left(mod\;{4}\right)\)となることを示せばよいのである.