問題4(級数,レベル1)の解答

 

 

問題:

 

 \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n}}\)を求めよ.

 

 

 

 

解答:

 

$$ S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n}} \tag{1} $$

とおく.これを\(2\)で割ると

$$ \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}\tag{2} $$

となる.式(1)から式(2)を引くと

$$ S-\frac{1}{2}S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=2\tag{3} $$

と計算できる.すなわち

$$ \frac{1}{2}S=2 $$

よって

$$ S=4 $$

 

 

 

講評:

 

 級数に関する必須テクニックを問う問題である.\(\frac{1}{2^{n}}\)という部分が\(\Sigma\)の内部にあるため,全体を\(2\)でかけるか割るかしてあげ,元々の級数との差をとってあげれば,より簡単な形の級数に変形できる.