問題3(整数問題,レベル2)の解答

 

 

問題:

 

 \(n\)は自然数であるとする.\(n^{7}\)を\(8\)で割った余りと,\(n^{3}\)を\(8\)で割った余りは常に等しくなることを証明せよ.

 

 

 

 

解答:

 

 \(n^{7}-n^{3}\)が常に\(8\)で割り切れることを示せばよい.

$$ n^{7}-n^{3} = n^3\left({n}^{4}-1\right) = n^{3}\left({n}^{2}+1\right)\left({n}^{2}-1\right) \tag{1} $$

自然数\(n\)が偶数のときと奇数のときのそれぞれで,上記の式(1)が\(8\)で割り切れることを示す.

 

(i) 自然数\(n\)が偶数のとき

 

自然数\(n\)が偶数のときは,ある自然数\(k\)を用いて\(n=2k\)とおける.これを式(1)に代入すると,

$$ n^{7}-n^{3} = n^{3}\left({n}^{2}+1\right)\left({n}^{2}-1\right) = 8k^{3}\left({4}k^{2}+1\right)\left({4}k^{2}-1\right) \tag{2} $$

となり,明らかに\(8\)の倍数である.

 

(ii)自然数\(n\)が奇数のとき

 

自然数\(n\)が奇数のときは,ある自然数\(k\)を用いて\(n=2k-1\)とおける.これを式(1)に代入すると,

$$\begin{eqnarray*} n^{7}-n^{3} = n^{3}\left({n}^{2}+1\right)\left({n}^{2}-1\right) &=&\left(2{k}-1\right)^{3}\left({4}k^{2}-4k+2\right)\left({4}k^{2}-4k\right)\\ &=&8\left(2{k}-1\right)^{3}\left({2}k^{2}-2k+1\right)\left({k}^{2}-k\right) \tag{3} \end{eqnarray*} $$

となり,これも\(8\)の倍数である.

 

よって(i)(ii)いずれにおいても式(1)は\(8\)の倍数となるため,\(n^{7}\)を\(8\)で割った余りと,\(n^{3}\)を\(8\)で割った余りは常に等しくなる

 

講評:

 

 「\(A\)を\(8\)で割った余りと\(B\)を\(8\)で割った余りが等しい」と聞いたときに,「では\(A-B\)は常に\(8\)で割れるんだな?」と読み替えられるかどうかがポイントである.ここに気付けば,あとは\(n^{7}-n^{3}\)を因数分解して常に\(8\)の倍数になることが簡単に示せる.