問題11(多項式と極限,レベル3)の解答

 

 

問題:

 

サイコロを\(2\)回振って,出た目をそれぞれ\(a_1\),\(a_2\)とする.ここで,\(x^n\)を\(a_1 x^2+x+a_2\)で割った余りを\(C_n x+D_n\)とする.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} C_n=0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} D_n=0\)になる確率を求めよ.

 

 

 

解答1:

 

 

題意より

$$ x^n=\left({a_{1}x^{2}+x+a_{2}}\right){g}\left({x}\right)+C_{n}x+D_{n} \tag{1}$$

となる.ここで,

$$ a_{1}x^{2}+x+a_{2}=0 \tag{2}$$

の解の一つを\(z\)とおく.つまり,\(z\)は以下の式(3)で表される複素数とする.

$$ z=\frac{-1+i\sqrt{4a_{1}a_{2}-1}}{2a_{1}} \tag{3}$$

この\(z\)を式(1)に代入すれば,

$$ z^n=C_{n}z+D_{n} \tag{4}$$

が成立する.ここで

$$ {"}\lim_{n \to \infty} C_n=0{\;\;{and}\;\;}\lim_{n \to \infty} D_n=0{"}\;\;\Leftrightarrow\;\;{"}\lim_{n \to \infty} \left|z^n\right|=0{"} \tag{5}$$

を示そう.まず式(4)からも条件式(5)の\(\Rightarrow\)(左から右)は自明である.よって以下に

$$ {"}\lim_{n \to \infty} C_n=0{\;\;{and}\;\;}\lim_{n \to \infty} D_n=0{"}\;\;\Leftarrow\;\;{"}\lim_{n \to \infty} \left|z^n\right|=0{"} \tag{5'}$$

を示す.

$$ z=a+ib \tag{6}$$

とおき,式(4)の絶対値をとると

$$ \left|z^n\right|=\left|C_{n}z+D_{n}\right|=\sqrt{\left({C_{n}a+D_{n}}\right)^{2}+\left({C_{n}b}\right)^{2}} \tag{7}$$

となるため,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|{z^n}\right|=0\)であるとすると

$$ \lim_{n \to \infty} C_{n}b=0\;{,}\;\; \lim_{n \to \infty} \left({C_{n}a + D_{n}}\right)=0\tag{8}$$

が成り立つ.式(3)より\(a\neq{0}\),\(b\neq{0}\)なので式(8)より

$$ {"}\lim_{n \to \infty} C_n=0{\;{,}\;\;}\lim_{n \to \infty} D_n=0{"}\tag{9}$$

となることがわかる.よって,条件式(5')は証明され,ゆえに条件式(5)も示された.このことから題意の確率は,

$$ \lim_{n \to \infty} \left|z^n\right|=0 \tag{10}$$

となる確率に等しいと言える.この式(10)を満たす必要十分条件は

$$ \left|{z}\right|<1 \tag{11}$$

であり,式(3)から

$$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{\frac{a_2}{a_1}}<1\tag{12} \end{eqnarray*}$$

となる.

以上のことより,求める確率は式(12)を満たす確率と等しく,これを満たす\(a_1\),\(a_2\)の組み合わせは、\((a_1,a_2)=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\)

と\(15\)通りなので,求める確率は

$$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

 

 

解答2:

 

 

二次方程式\(a_1 x^2+x+a_2=0\)は互いに共役な二つの異なる複素数解を持つ。これら二つの解を\(z\),\(\overline{z}\)とおき、\(x^n\)を\(a_1 x^2+x+a_2\)で割った時の商を\(Q(x)\)とおくと、

 

$$\begin{eqnarray*} x^n=a_1(x-z)(x-\overline{z})Q(x)+C_n x+D_n\\ \end{eqnarray*}$$

 

両辺に\(x=z,x=\overline{z}\)をそれぞれ代入すると、

 

$$\begin{eqnarray*} z^n=C_n z+D_n\\ \overline{z}^n=C_n\overline{z}+D_n \end{eqnarray*}$$ \(C_n\),\(D_n\)について解くと、 $$\begin{eqnarray*} C_n &=& \frac{z^n-\overline{z}^n}{z-\overline{z}}=\frac{2i|z|^n\sin({n\cdot arg(z))}}{2i|z|\sin{(arg(z))}}=|z|^{n-1}\frac{\sin{(n\cdot arg(z))}}{\sin{(arg(z))}}\\ D_n &=& -\frac{z\overline{z}(z^{n-1}-\overline{z}^{n-1} )}{z-\overline{z}}=-\frac{2i|z|^{n+1}\sin{((n-1)\cdot arg(z))}}{2i|z|\sin{(arg(z))}}=|z|^n\frac{\sin{((n-1)\cdot arg(z))}}{\sin{(arg(z))}}\\ \end{eqnarray*}$$

 

ここで\(arg(z)\neq 0\)より、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin{(n\cdot arg(z))}\)は収束しない。

よって、\(n\rightarrow \infty\)で\(C_n\),\(D_n\)が共に\(0\)に収束するための必要十分条件は、

$$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{\frac{a_2}{a_1}}<1 \end{eqnarray*}$$

 

である。

これを満たす\(a_1\),\(a_2\)の組み合わせは、\((a_1,a_2)=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\)

の\(15\)通りゆえ、求める確率は、

$$\begin{eqnarray*} \frac{15}{36}=\frac{5}{12} \end{eqnarray*}$$

 

である。

 

 

講評:

 

 多項式の余りを扱うときには,複素数を使うとシンプルになるケースが多い.ここでは\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} C_n=0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} D_n=0\)となる必要十分条件が\(\left|{z}\right|<1\)となることを導いてやれば,あとは非常にシンプルである.また,複素数を使う解法以外にも,純粋に\(C_{n}\)と\(D_{n}\)の漸化式を導き,その漸化式を行列形式にして,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} C_n=0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} D_n=0\)となる必要十分条件が「その行列の固有値が\(1\)未満である」ということを用いて確率を計算することもできる.