問題10(整数問題,レベル2)の解答

 

 

問題:

 

 \(a\),\(b\),\(c\)はそれぞれ\(2\)以上で,かつどの2つをとっても互いに素な自然数とする.ある自然数\(N\)を\(a\)で割った余りを\(Ra\left({N}\right)\),\(b\)で割った余りを\(Rb\left({N}\right)\),\(c\)で割った余りを\(Rc\left({N}\right)\)とし,\(F\left({N}\right)=Ra\left({N}\right)\cdot{R}b\left({N}\right)\cdot{R}c\left({N}\right)\)とする.

(1)\(F\left({N}\right)\)の最大値を求めよ.

(2)\(F\left({N}\right)\)が上記(1)の最大値となる最小の\(N\)を求めよ.

 

 

 

解答:

 

 

(1)\(a\),\(b\),\(c\)の最大公約数は1なので\(a\),\(b\),\(c\)の最小公倍数は\(abc\)である.

\(k\cdot abc-1(k\in\mathbb{N})\)なる自然数を考えると、これは\(a\),\(b\),\(c\)のどれによっても割り切れず、かつ、

$$\begin{eqnarray*} k\cdot abc-1&=&a(k\cdot bc-1)+a-1\\ &=&b(k\cdot ac-1)+b-1\\ &=&c(k\cdot ab-1)+c-1 \end{eqnarray*}$$

より、\(a\),\(b\),\(c\)のそれぞれで割った時に、各々最大の余りを与える。

よって\(F(N)\)は、\(N=k\cdot abc-1\)の時に最大値\((a-1)(b-1)(c-1)\)をとる。

 

 

 

 

(2)\((1)\)の結果より、\(F(N)\)の最大値を与える\(N\)のうち最小のものは\(abc-1\)である。

 

 

 

 

講評:

 

 余りが最大ならば,その次の整数は余りが最小(つまり\(0\))となる.\(a\)で割った余りも,\(b\)で割った余りも\(c\)で割った余りも同時に最大となるためには,その次の整数が\(a\)でも\(b\)でも\(c\)でも割り切れる必要がある.そして\(a\),\(b\),\(c\)で同時に割り切れる自然数は,これら3つの整数が互いに素であることから\(k\cdot{abc}\)(ただし\(k\)は自然数)と表される.これら一連のイメージが湧けば,本問は簡単である.