自作数学問題

 

 ここでは,EnergyChordが自作した珠玉の数学問題を随時公開していく.基本的に高校数学までを用いて作問しているので,問題に用いた単元を学び終えた高校生の理解度チェックや大学受験生の腕試しとして最適である.また,理系大学生にとっても歯ごたえのある問題が数多く含まれているので,大学生から技術者に至るまで,幅広い読者の方々に楽しんでいただける内容となっている.なお,この自作数学問題が更新されたタイミングでEnergyChord更新情報においてその旨をアナウンスさせていただいているので,その更新情報をご覧になった際には是非とも新問題にトライしていただきたい.そして答えがわかった方,または美しい解法が思いついた方は,Twitterにて@EnergyChord_tec向けにDMないしは返信をしていただくか,このページの一番下にある問い合わせフォームから解答をお寄せいただきたい.

 また,高校生からみた難易度として,以下のような5段階のレベル表記をしているので,トライするかどうかの目安にしてもらいたい.

  • レベル1:基本~標準問題(すべての理系受験生必須)
  • レベル2:ちょっと捻った問題(国立2次試験レベル)
  • レベル3:かなりハイレベル(東大・京大等の後半設問レベル)
  • レベル4:難問(数オリ予選以上)
  • レベル5:超難問(数オリ本選級)

 大学入試の問題ではなかなか味わえない一風変わった問題の数々に是非挑戦されたし!

 

 

 

New!! 問題12(空間図形,レベル2)

 

 原点を中心とした半径\(1\)の球がある.球面上に任意の異なる2点\(A\), \(B\)を置く.線分\(AB\)を\(1:2\)に内分する点を\(P\)とする.\(P\)が存在し得る領域を答えよ.

[掲載日2013/10/20, 解答発表予定2013/11/3]

 

 

問題11(多項式と極限,レベル3)

 

 サイコロを\(2\)回振って,出た目をそれぞれ\(a_1\),\(a_2\)とする.ここで,\(x^n\)を\(a_1 x^2+x+a_2\)で割った余りを\(C_n x+D_n\)とする.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} C_n=0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} D_n=0\)になる確率を求めよ.

[掲載日2013/10/13, 解答発表予定2013/10/20]

 

 

問題10(整数問題,レベル2)

 

 \(a\),\(b\),\(c\)はそれぞれ\(2\)以上で、かつどの2つをとっても互いに素な自然数とする.ある自然数\(N\)を\(a\)で割った余りを\(Ra\left({N}\right)\),\(b\)で割った余りを\(Rb\left({N}\right)\),\(c\)で割った余りを\(Rc\left({N}\right)\)とし,\(F\left({N}\right)=Ra\left({N}\right)\cdot{R}b\left({N}\right)\cdot{R}c\left({N}\right)\)とする.

(1)\(F\left({N}\right)\)の最大値を求めよ.

(2)\(F\left({N}\right)\)が上記(1)の最大値となる最小の\(N\)を求めよ.

[掲載日2013/10/06, 解答発表日2013/10/13]

 

 

問題9(確率,レベル2)

 

 最初に\(0\)ポイントだとして,サイコロを振って1の目が出たときには1ポイント加算,1以外の目が出たときにはポイントは変化しないものとする.サイコロを\(N\)回振ったときのポイントが偶数である確率を求めよ.

[掲載日2013/09/29, 解答発表日2013/10/06]

 

 

問題8(漸化式と極限,(1)レベル2.5 (2)レベル4.5)

 

 \(0\)以上の整数\(n\)について定義された負でない整数の数列\(a_{n}\)が次を満たすとする:

$$ a_{n}\geq{1}\;\;\left(n\geq{1}\right)$$
$$ a_{m}+a_{n}=a_{mn+m+n},\,\,\left({m}\geq{0},\,{n}\geq{0},\,{m,n}\in\mathbb{Z}\right)$$

(1)\(a_{2013}\)の最小値を求めよ.

(2)次の条件Iを満たすとき,\(a_{n+1}<a_{n}\)となる\(n\)が存在することを示せ.

 

条件I:\(0\leq{n}\leq{2013}\)を満たすすべての\(n\)について,\(a_{n}\)も有界となる.

[掲載日2013/09/22, 解答発表日2013/09/29, 問題文一部修正2013/10/31]

 

 

問題7(整数問題,(1)レベル1(2)レベル3)

 

$$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $$

を満たす自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)を考える.

(1)自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)は無限にあることを示せ.

(2)\(a\),\(b\),\(c\)のうち,どの2つをとっても互いに素であるような自然数の組\(\left(a{,}\,{b}{,}\,{c}\right)\)も無限にあることを示せ.ただし素数が無限にあることを用いてよい.

[掲載日2013/09/15, 解答発表日2013/09/22]

 

 

問題6(複素数,レベル2)

 

 \(0\)以外の複素数\(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\)について,複素平面上において\(3\)つの複素数\(\alpha^{n}\),\(\beta^{n}\),\(\gamma^{n}\)でできる三角形の重心が,すべての自然数\(n\)について常に原点にあるとする.このとき,\(\left(\frac{\beta}{\alpha},\,\frac{\gamma}{\alpha}\right)\)の組をすべて求めよ.

[掲載日2013/09/15, 解答発表日2013/09/22]

 

 

問題5(整数問題,(1)レベル1 (2)レベル2)

 

 奇数の組\(\left(a,\;{b},\;{c},\;{d}\right)\)を考える.

(1)\(a^2\)を\(4\)で割った余りは\(1\)であることを示せ.

(2)\(a^2+b^2+c^2\neq{d^2}\)であることを示せ.

 

[掲載日2014/04/08, 解答発表日2014/04/08]

 

 

問題4(級数,レベル1)

 

 \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n}}\)を求めよ.

[掲載日2013/09/08, 解答発表日2013/09/15]

 

 

問題3(整数問題,レベル2)

 

 \(n\)は自然数であるとする.\(n^{7}\)を\(8\)で割った余りと,\(n^{3}\)を\(8\)で割った余りは常に等しくなることを証明せよ.

[掲載日2013/09/03, 解答発表日2013/09/08]

 

 

問題2(整数問題,剰余の計算,レベル2)

 

 \(10^{2012}\)を\(63\)で割った余りを求めよ.

[掲載日2013/09/03, 解答発表日2013/09/08]

 

 

問題1(確率と積分の応用,ビュフォンの針の発展問題,レベル3)

 

 無限平面上に間隔\(1\)の横線と間隔\(1\)の縦線が直交しながら無限に並んでいる。ここに長さ\(1\)の針を投げたとする。針の着地点や角度はランダムであるとして,その針が横線と交差していた場合における、縦線と交差している条件付き確率を求めよ。

[掲載日2013/09/03, 解答発表日2013/09/08]

 

 

 

 

解答送信フォーム

解答の記入が終わりましたら,送信ボタンを押してください.

■ハンドルネーム ※必須
■Mail(半角)
■問題番号 ※必須
■解答